Regression Model

General Notation	Description	Python (if applicable)
$𝑎$	scalar, non bold
$𝐚$	vector, bold
Regression
$𝐱$	Training Example feature values (in this lab - Size (1000 sqft))	x_train
$𝐲$	Training Example targets (in this lab Price (1000s of dollars))	y_train
$𝑥(𝑖)$, $𝑦(𝑖)$	$𝑖$𝑡ℎTraining Example	x_i, y_i
m	Number of training examples	m
$𝑤$	parameter: weight	w
$𝑏$	parameter: bias	b
$𝑓𝑤,𝑏(𝑥(𝑖))$	The result of the model evaluation at $𝑥(𝑖)$ parameterized by $𝑤,𝑏$: $𝑓𝑤,𝑏(𝑥(𝑖))=𝑤𝑥(𝑖)+𝑏$	f_wb

Tools - 工具

• NumPy，一个流行的科学计算库

• Matplotlib, 一个用于绘制数据的流行库

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.style.use('./deeplearning.mplstyle')

Problem Statement - 问题陈述

使用住房价格预测 使用一个简单的数据集，其中只有两个数据点--一个面积为 1000 平方英尺（sqft）的房子售价为 30 万美元，另一个面积为 2000 平方英尺（sqft）的房子售价为 50 万美元。这两个点将构成我们的数据集或训练集。在例子中，面积单位是 1000 平方英尺，价格单位是 1000 美元。

Size (1000 sqft) 面积（1000 平方英尺）	Price (1000s of dollars) 价格（千美元）
1.0	300
2.0	500

通过这两点拟合一个线性回归模型（如上图蓝色直线所示），这样就可以预测其他房屋的价格--比如，1200 平方英尺的房屋。

# x_train is the input variable (size in 1000 square feet)
# y_train is the target (price in 1000s of dollars)
x_train = np.array([1.0, 2.0])
y_train = np.array([300.0, 500.0])
print(f"x_train = {x_train}")
print(f"y_train = {y_train}")

训练示例数 m

使用 m 表示训练示例的数量。Numpy 数组有一个 .shape 参数。 x_train.shape 返回一个 python 元组，每个维都有一个条目。 x_train.shape[0] 是数组的长度和示例数，如下所示。

# m is the number of training examples
print(f"x_train.shape: {x_train.shape}")
m = x_train.shape[0]
print(f"Number of training examples is: {m}")

也可以使用 Python len() 函数，如下所示。

# m is the number of training examples
m = len(x_train)
print(f"Number of training examples is: {m}")

Training example x_i, y_i 使用 (x $(𝑖)$ , y $(𝑖)$) 表示 $𝑖𝑡ℎ$ 训练示例。由于 Python 是零索引的，因此 (x $(0)$ , y $(0)$) 是 (1.0, 300.0)，而 (x $(1)$, y $(1)$) 是 (2.0, 500.0)。 要访问 Numpy 数组中的某个值，需要用所需的偏移量对数组进行索引。例如，访问 x_train 中第 0 个位置的语法是 x_train[0] 。运行下面的代码块可获得 $𝑖𝑡ℎ$ 的训练示例。

i = 0 # Change this to 1 to see (x^1, y^1)
x_i = x_train[i]
y_i = y_train[i]
print(f"(x^({i}), y^({i})) = ({x_i}, {y_i})")

Plotting the data 绘制数据图 可以使用 matplotlib 库中的 scatter() 函数绘制这两点

• 函数参数 marker 和 c 将点显示为红色十字（默认为蓝点）。

您可以使用 matplotlib 库中的其他函数来设置要显示的标题和标签

# Plot the data points
plt.scatter(x_train, y_train, marker='x', c='r')
# Set the title
plt.title("Housing Prices")
# Set the y-axis label
plt.ylabel('Price (in 1000s of dollars)')
# Set the x-axis label
plt.xlabel('Size (1000 sqft)')
plt.show()

Model function - 模型函数

线性回归的模型函数（即从 x 映射到 y 的函数）表示为

$𝑓𝑤,𝑏(𝑥(𝑖))=𝑤𝑥(𝑖)+𝑏$

上面的公式就是表示直线的方法-- $𝑤$和 $𝑏$的值不同，曲线图上的直线也不同。

试着通过下面的代码块来更好地理解这一点。从 $𝑤=100$ 和 $𝑏=100$ 开始。

注：可以返回该单元格调整模型的 w 和 b 参数

w = 100
b = 100
print(f"w: {w}")
print(f"b: {b}")

计算两个数据点的 $𝑓𝑤,𝑏(𝑥(𝑖))$ 值。可以将每个数据点的计算结果明确写为 对于 $𝑥(0)$, f_wb = w * x[0] + b 对于 $𝑥(1)$ , f_wb = w * x[1] + b 对于大量数据点来说，这可能会变得臃肿和重复。因此，您可以在 for 循环中计算函数输出，如下面的 compute_model_output 函数所示。

注意：参数描述 (ndarray (m,)) 描述了一个 Numpy n 维数组的形状 (m,)。 (scalar) 描述的参数没有维数，只有大小。 注意： np.zero(n) 将返回一个包含 $𝑛$ 条目的一维 numpy 数组

def compute_model_output(x, w, b):
    """
    Computes the prediction of a linear model
    Args:
      x (ndarray (m,)): Data, m examples 
      w,b (scalar)    : model parameters  
    Returns
          f_wb (ndarray (m,)): model prediction
    """
    m = x.shape[0]
    f_wb = np.zeros(m)
    for i in range(m):
        f_wb[i] = w * x[i] + b
        
    return f_wb

调用 compute_model_output 函数并绘制输出结果。

tmp_f_wb = compute_model_output(x_train, w, b,)

# Plot our model prediction
plt.plot(x_train, tmp_f_wb, c='b',label='Our Prediction')

# Plot the data points
plt.scatter(x_train, y_train, marker='x', c='r',label='Actual Values')

# Set the title
plt.title("Housing Prices")
# Set the y-axis label
plt.ylabel('Price (in 1000s of dollars)')
# Set the x-axis label
plt.xlabel('Size (1000 sqft)')
plt.legend()
plt.show()

设置 $𝑤=100$ 和 $𝑏=100$ 并不能得到符合数据的直线。

正确答案是 w = 200 ，b = 100